潘洛斯阶梯

帕普斯定理 少詠家后面有一片空地，她想在上面种植九棵苹果树，但要求能够连接出十条线段，而每条线段都过三棵树。问她需要怎么种植这九棵树？ 本期要介绍的帕普斯定理可以用来解决这个问题。 一条直线上有顺序三点A1、A2、A3，另一条直线上有与A1、A2、A3顺序一致的三点B1、B2、B...

深夜，在琢磨之前遇到的一个三角函数的范围判定问题 有时候虽然做出来了，但是每个题方法不一样，我就会想： 为什么这个题，我这样做，那个题我那样做？为什么我会这样想，为什么那样出不来？ 只有想清楚这件事，一来，自己不会忘，二来，才能给学生把这个问题讲明白！否则说凭...

这个题目是这样的：有一个四边形ABCD，画在一张白纸上。本来就是想简单地画出两条对角线的交点S。如下图所示。 但是不知什么原因，画有四边形ABCD的纸上，点B和点D及其外侧被撕掉了，成为下图所示的样子。 于是，虽然对角线AC仍然可以画出，但没有了点B和D，就无法画出对角线BD，从...

今天讲一个轨迹题，我们将用笛沙格定理证明这个轨迹是一条直线。 题目是这样的：有两条相交直线l1(绿色)和l2(紫色)，交点为O。另有一条直线l(深蓝色)，其上有三个定点P、A和B。过点P作直线p(天蓝色)，与直线l1和l2分别交于两点X(绿点)和Y(粉点)。如上图所示。过直线l上的点A和直线l1上的...

错位相减法可能是高中学生的噩梦，明明知道怎么算，但是总是算不出正确答案。看到的标准答案和自己的答案完全不一样，但是方法完全正确，可是自己就是不能算出真正的答案。 ❝ 这很大程度上可能我们在计算数列错位相减的时候只是注重简单的计算，而没有看到错位相减的本质。...

今天，3月14日，是一个有趣的科学节日 日，即圆周率日 ，因为圆周率最常用的近似值是3.14。无比巧合的是，这一天还与历史上最伟大的两位科学家的生死相关 3月14日是爱因斯坦生日，也是霍金忌日 。 贴一篇之前写过的文章，纪念一下这个值得纪念的日子。 1879年3月14日，爱因斯坦出生，...

数学系没有 白色情人节 又到了一年一度的白色情人节圆周率日。 每年的3月14日，爱好者们都会举行各种集会，一起讨论有关的话题，举办各类活动以庆祝日。 超模君也心痒痒想搞个什么活动，比如模友答对一个问题，就送一个小天亲手做的派 。 不过，后来想想，小天的手艺经常有时刹不...

2020年3月14日，是人类第一个国际数学日。这个节日的昵称是日。国际数学日之所以定在3月14日，是因为3.14是数学上最重要和著名的常数圆周率的常用近似值。将每年3月14日定为国际数学日，是2019年11月26日联合国教科文组织第四十届大会上正式宣布的。...

悖论 史上最诡异的悖论 今天，8岁表妹的老师给她奖励了一块大巧克力，陀螺网小编打趣她能不能分给我点，遭到残忍拒绝，陀螺网小编很愤怒，暗下决心要神不知鬼不觉地吃上表妹的巧克力。 陀螺网小编趁表妹在认真做作业的时候，灵机一闪，拿起刀就是切，偷偷吃了好几块。 假装帮表...

今天讲一个漂亮的图形，请先看一看它的动画。 （1） 西姆松线 从三角形外接圆上一点P向三角形三条边引垂线，三个垂足一定位于一条直线上。这条直线就叫做西姆松线。 随着点P在外接圆上运动一周，西姆松线朝反方向旋转半周（可再次观看上面的动画）。西姆松线的包络是一个尖点三...

学习了除法的表妹跑来问我： 为什么不能除以0？ 就这个问题，我专门请来了高冷的 Siri 。 同样是数字，0为什么就会这么惨呢？ 小学生 小学老师会直接给你来一句： 别问，问就是没意义！ 怎么理解？我们说12可以理解为1个东西分成2份。 同样：13可以理解为1个东西分成3份。 但是：10可以...

蝴蝶定理： AB为圆O的任意一条弦，M为AB的中点，CD和EF为过点M的两条不同于AB的弦。连接CF，DE，这两条弦与AB交于点G和H。那么，GM=MH。 证明 ：如下图所示。 证明 ：就上图的样子，我们延长FC和DE，两延长线相交于点P。 于是得到三角形GPH。而CMD和EMF都是与三角形GPH三边（或延长线）都相交...

今天给出一个重要结论，然后利用这个结论解一道三角形作图题。其中用到之前不远的某期讲过的代数解析法。 我们知道，如果一动点到一条定线段两个端点的距离的平方和等于这条定线段长度的平方，那么这样的动点运动的轨迹明显是一个圆（根据勾股定理的逆定理）。 仍然是这一线段...

如图，有一个稍大一些的三角形ABC，要求在其内部作一个三角形（三个顶点分别位于稍大三角形的三条边上，这样作出的三角形称为内接三角形），使其与某已知较小三角形DEF全等。 请考虑一下。是不是没有思路？那么我们不妨逆向思维，即能否从稍小三角形DEF出发，作出一个与三角形A...

三角形作图题中经常出现两条边的比值为p:q(或m:n)这一条件。于是我们可能会想到阿波罗尼圆，因为阿波罗尼圆是到两个定点距离的比值是定值的点的轨迹。于是，下面两道类似题目的解法就都有可能用到阿波罗尼圆。我们一起来讨论一下。之前讲三角形作图题共讲了15道，所以，今天的两...

1月3日和1月6日的两期（封面上是第279和280号）分别讲了两种空间密铺问题： ①《有关正八面体、正四面体的有趣问题》 ②《正四面体与截角四面体可以铺满空间》 以上两期的链接在文后。 我们上期说过，有五种用柏拉图体和（或）阿基米德体铺满整个空间的方式。除上面的两种外，最简...

以数学家拉马努金名字命名的算法能给出很有意思的公式，一些公式证明起来还很难。 研究人员新构建的一种人工智能（AI）可以生成数学公式，包括一些数学家至今都没能解决的问题。 这个AI名叫拉马努金机 （RamanujanMachine） ，研究人员想让它用新的方法计算重要数学常数的精确值 ，例...

前几天，超模君空投了一个包裹给8岁表妹。 不到三秒，表妹就从包裹里面拿出来一条毛毯：表哥，这个毛绒绒的毯子好舒服，我披着毯子写作业很暖和， 但这个图案是啥，不懂耶。 如果你也不懂这是什么，请点击图片！超模君听说，内心炸裂，作为我超模君的表妹，竟然不懂欧拉公式为何...

又是一个风和日丽、没有懒觉、要赶早课的上午，小明同学抱着一本量子力学匆匆走在去教学楼的路上。 在经历了因为在热学课上睡着、所以在梦里当了一个世纪的打工小妖的人间惨案之后，小明决心早睡早起、规律作息、再也不偶尔通宵玩游戏，把再度沦落为打工人的可能性扼杀在摇篮里...

有个比较有意思的问题，形式比较多，有说开灯关灯的，也有说黑白棋的，不过黑白棋更容易让小朋友理解。黑白棋就是一面是黑棋，翻一下就变成白棋，再翻一下又变回黑棋。我们来看看这样的题目： 1 棋盘上有n个黑棋，每次翻动n－1个棋，那么翻动多少次以后，n个黑棋都变成白棋？ 这...

生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等.我们可以根据这些相等的关系进行推理，进而可以等量代换，找到答案。 等量代换其实在一年级已经有了基本的接触，二年级里，我们把等量代换作为一种解题方法拿出来介绍，引导小朋友来学习等量代换中推理的方法...

几何问题一旦与比例问题相结合，那么就不要单纯用比例问题方法来解决了，而应该结合几何图形来解决，往往事半功倍。 1 如下图，ABCD是一个梯形，E是BC的中点，直线DE把梯形分成四边形ABED、三角形CDE两部分，它们的面积之比是10:6，求上底AB与下底CD之比。 我们对上图添加一条辅助线，...

傅立叶变换 今天，先放个动图给大家猜猜今天文章的主题（不要偷看哦。。。） 巴拉拉 ， 变身吧！！！ 图片作者：LucasVB 突然发现自己的小心思被标题给出卖了（小天，你这标题起的真好。。。） 言归正传，超模君今天要跟大家分享的确实是 工科大神器 傅立叶变换。 说到傅立叶变换，...

封闭型数阵图通常是多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。 1 在下图中的小圆圈中填入1~8，使得每条直线上的3个数字之和都等于14，且数字1必须在其中一个角上。 少数关键点：四个角 只有四个角上的数会被计算2次，也就是各重复1次。 解题思路： 上图中线条数...

欢快如厕 为何大声惨叫 前几天，竟然有模友私信超模君，说这是不是真的。 网友私信截图WTF！ 数学史上就有一道奇葩的难题，是历代数学家们在厕所里解决的。 厕所冥想 1917年，为了给日本武士增添生活趣味，数学家挂谷宗一（KaichibaSoichiKakeya）提出了有味道的 挂谷问题 。 某天，一位武...

今天介绍二次曲面，但我想从直观上进行讲解。 一个圆，沿着与圆所在平面垂直的方向平移，轨迹是一个圆柱面。类似地，把圆换成椭圆、抛物线或双曲线，作同样的平移，轨迹将是椭圆柱面、抛物柱面或双曲柱面。 椭圆柱面、抛物柱面或双曲柱面也可以理解为一条过椭圆、抛物线或双曲...

所谓单偶阶幻方就是当n可以不能被4整除时的偶阶幻方，即4K＋2阶幻方。比如除了二阶幻方以外，最小的单偶数阶幻方就是六阶幻方了。 单偶数阶幻方的通用解法是象限对称交换法。我们以一个十阶幻方为例，其具体操作步骤如下： 1.将幻方分成22的4个区域，由于是单偶数阶幻方，所以这...

一提到 乌鸦 你会想到什么？ 是黑色不祥的象征？还是寓言故事里狡猾的角色？亦或是一些神话里的愚蠢象征？ 当然应该也会想到伊索寓言里那只会叼着石子喝水的聪明乌鸦。 伊索寓言里那只懂得用石头喝到水乌鸦 （图源：Wikipedia） 除此之外，你可能会记得很多电影、动漫里的聪明乌鸦...

上次介绍了一下简单算数平均，就是把所有数字求和，除以数字的个数。但是有时候会涉及到数字的分组计算，这个时候当然就适合使用加权算数平均了，其实加权算数平均的本质还是算数平均，只不过把相同的数字直接乘以这个数字的个数（权重），以快速求和。 加权算术平均数的计算...

今天讲一个简单的知识，那就是四面体的质心（也叫做重心或中心）。我们要证明一个四面体每个顶点到对面中心连线（叫做四面体的中线）相交于一点，且这点到顶点距离与到对面中心距离之比为3:1。 我们知识，在平面时，三角形三条中线相交于一点，这点叫做质心（或重心、中心），...