缺8数

因为有的书上把斐波那契数列的首项和第2项用F0和F1表示，所以为了不引起歧义，这里需要首先阐明本篇文章所涉及的斐波那契数列，前两项是用F1和F2表示的，即F1=F2=1。下面，为了使您读着方便，先列出斐波那契数列的前一些项： 今天我们研究斐波那契数列与集合的有趣的关系。我们首先...

高中阶段在研究函数的过程中总是会碰到十分复杂的内联嵌套问题,比如 .这类函数有抽象函数也有具体函数，在分析其零点问题的时候，很多同学会相当的头疼，既不能画图，也不能写出相应的解析式那可怎么判断呀? 其实这类很复杂的函数有一个很专一的考点函数零点，正所谓独特之处必...

一个正整数，如果能被另一个正整数整除，就说这另一个整数是这个正整数的因数或除数。 比如，6可以被1,2,3,6都整除，所以，1,2,3,6都是6的因数或除数。 一个正整数的因数的个数是确定的，比如6的因数的个数是4；9的因数的个数是3（1,3,9）。 正整数因数的个数与这个正整数的大小没有关...

今天简单地讲一讲梅森数及梅森素数。不可能涉及梅森数的方方面面，而只是讲一讲比较好理解的方面。形如 的数叫做 梅森数 ，其中p为素数。 就算梅森数的定义中要求p是素数，也不能保证梅森数一定是素数。梅森数可能是素数，也可能不是素数即合数。我们列出p取前面一些素数时的梅...

今天简单地讲一讲梅森数及梅森素数。不可能涉及梅森数的方方面面，而只是讲一讲比较好理解的方面。形如 的数叫做 梅森数 ，其中p为素数。 为什么这个定义中要求p是素数？若p不取素数而取合数，那么，2的合数次方一定是一个完全平方数，那么根据平方差公式，2的合数次方再减1，就一...

对于大多数题目来说，不太会单独使用乘法原理和加法原理，通常都是综合运用。 一般的形式为：做一件事情，有N个步骤，每个步骤里又各自有不同的分类，每个分类里又有多种方法；又或者是，做一件事情，有N个分类，每个分类里又有不同的步骤，每个步骤里又有多种方法。 总之，需...

我们已经学过和差问题是已知和与差，和倍问题也类似，就是已知两个数的和与倍数关系，求这2个数分别是多少。和倍问题的基本公式是： 和倍问题的基本公式 大数＋小数＝两数之和 大数小数＝倍数 小数＝和（倍数＋1） 大数＝和－小数 和倍问题如果不是直接给出倍数关系，而是稍微做...

严格意义上来说，除法没有运算律。但是我们可以根据数形结合或者乘法运算律，参照着自己写出一个运算律出来。 1 除法交换律：abc＝acb 我们看看下图如果我们把一个大长方形先横切，平均分成4块（就相当于先除以4），然后再竖切，把每个横条平均分成5块（就相当于再除以5），得到...

今天讲由5条切线作椭圆。在射影几何中，帕斯卡定理与布里安香定理是对偶的。从而内接六边形与外切六边形对偶。点与线对偶，对边与对顶点对偶，共线与共点对偶，。所以今天的作图就与上期的对偶。 具体来说，先给5条切线依次取名1，2，3，4，5。这里，名称既可以表示整条切线也可...

这一节通过数形结合学习乘法的三大运算律。 1 乘法交换律：ab＝ba 我们先来数一数，下图中有几个小方块： 我们一行一行的数，每一行有5个，总共4行，所以是： 5＋5＋5＋5＝54＝20 也可以一列一列的数，每一列有4个，总共5行，所以是： 4＋4＋4＋4＋4＝45＝20 无论怎么数： 54＝45 我们能看...

今天指尖陀螺网小编又来教大家不靠谱的小技巧了。为什么说不靠谱呢？因为不通用，所以不靠谱，毕竟有时候可能成为导数大题的猜答案杀器；不过也有时候很鸡肋，食之无味。 不过想想在做导数的时候凭借着这个可以把答案猜出来，那答案都出来了，过程还很难吗？ 端点效应 这就是我...

五点可以决定一个椭圆。那么，在椭圆上任意选取五个点，把椭圆擦掉后，如何再根据这五个点作出这个椭圆呢？ 前不久讲过如何过椭圆上一点作椭圆的切线（《过椭圆上一点作切线》，链接在文后），那里使用的是帕斯卡定理。今天的问题也是利用帕斯卡定理（有关帕斯卡定理的具体内...

立体图的平面展开后，会是什么样子呢？ 1 正方体的平面展开： 实际上，正方体的平面展开图还有很多，可以详细看看《一网打尽立方体的展开图》 2 长方体的平面展开： 有个特点，左右两块一样大、上下两块一样大、前后两块一样大，但是一样大的部分都不相邻（为什么？自己想一想）...

上两讲我们讲过从椭圆外一点作椭圆切线，还讲了把椭圆外这个点作为极点时，极点的极线是什么。极点到椭圆两条切线的切点的连线就是这条极线。比如下图中点P若为极点，则它的极线就是过切点S和T的直线。 请问，极线什么时候通过椭圆中心？ 可以看出，若点P离椭圆越来越远，则两条...

今天通过两个著名的定理帕斯卡定理和布里安香定理来讲一讲射影几何的内在美：有帕斯卡定理存在就一定有布里安香定理存在，反之亦然。两个定理是配极对偶的。以椭圆为例，对圆锥曲线都正确。 ABCDEF为椭圆的内接六边形。a,b,c,d,e,f分别为椭圆在点A,B,C,D,E,F处的切线。六条切线围成一个...

今天讲一个从椭圆外一点作椭圆切线的绝妙方法 我们只知道一个祼椭圆和椭圆外一点P 如下图所示 我这里所谓裸椭圆是指椭圆本身，而它的中心、焦点、顶点、准线一概不知 所以适合用射影几何学的方法 射影几何学的方法非常简单，但方法背后的理论就会比较深奥 我先来讲一讲作法 （...

就我所知，有好几个定理都称作布里安香定理，今天我来说一说其中一种。 布里安香定理 ：如果一个六边形一组互相间隔的三条边交于一点，另一组互相间隔的三条边相交于另一点，那么这个六边形三条相对顶点连线（对角线）相交于一点。 定理只用语言描述，不太好理解。我们画图举例...

关于两个正数的算术平均值和几何平均值，我们在学习均值不等式的时候就已经非常熟练了，同时我相信在讲均值不等式的时候，大家的老师一定也拓展过 与平方平均数 。同时我们也知道 那么虽然我们知道了这四种不等的均值所满足的关系，但是对于我们最熟悉的几何平均值和算术平均值...

有一个问题，不知是谁提出来的。这个问题是：要把十棵树栽种成十行，每行都有三棵树。问应该怎么栽种？ （0）在2016年1月5日讲过一个类似的问题，即要求种九棵树，这九棵树可以连接出十条线，每条线上都有不多不少三棵树。在那里，我是借此问题引出帕普斯定理的。具体内容详见文...

帕普斯定理 少詠家后面有一片空地，她想在上面种植九棵苹果树，但要求能够连接出十条线段，而每条线段都过三棵树。问她需要怎么种植这九棵树？ 本期要介绍的帕普斯定理可以用来解决这个问题。 一条直线上有顺序三点A1、A2、A3，另一条直线上有与A1、A2、A3顺序一致的三点B1、B2、B...

深夜，在琢磨之前遇到的一个三角函数的范围判定问题 有时候虽然做出来了，但是每个题方法不一样，我就会想： 为什么这个题，我这样做，那个题我那样做？为什么我会这样想，为什么那样出不来？ 只有想清楚这件事，一来，自己不会忘，二来，才能给学生把这个问题讲明白！否则说凭...

这个题目是这样的：有一个四边形ABCD，画在一张白纸上。本来就是想简单地画出两条对角线的交点S。如下图所示。 但是不知什么原因，画有四边形ABCD的纸上，点B和点D及其外侧被撕掉了，成为下图所示的样子。 于是，虽然对角线AC仍然可以画出，但没有了点B和D，就无法画出对角线BD，从...

今天讲一个轨迹题，我们将用笛沙格定理证明这个轨迹是一条直线。 题目是这样的：有两条相交直线l1(绿色)和l2(紫色)，交点为O。另有一条直线l(深蓝色)，其上有三个定点P、A和B。过点P作直线p(天蓝色)，与直线l1和l2分别交于两点X(绿点)和Y(粉点)。如上图所示。过直线l上的点A和直线l1上的...

错位相减法可能是高中学生的噩梦，明明知道怎么算，但是总是算不出正确答案。看到的标准答案和自己的答案完全不一样，但是方法完全正确，可是自己就是不能算出真正的答案。 ❝ 这很大程度上可能我们在计算数列错位相减的时候只是注重简单的计算，而没有看到错位相减的本质。...

悖论 史上最诡异的悖论 今天，8岁表妹的老师给她奖励了一块大巧克力，陀螺网小编打趣她能不能分给我点，遭到残忍拒绝，陀螺网小编很愤怒，暗下决心要神不知鬼不觉地吃上表妹的巧克力。 陀螺网小编趁表妹在认真做作业的时候，灵机一闪，拿起刀就是切，偷偷吃了好几块。 假装帮表...

今天讲一个漂亮的图形，请先看一看它的动画。 （1） 西姆松线 从三角形外接圆上一点P向三角形三条边引垂线，三个垂足一定位于一条直线上。这条直线就叫做西姆松线。 随着点P在外接圆上运动一周，西姆松线朝反方向旋转半周（可再次观看上面的动画）。西姆松线的包络是一个尖点三...

学习了除法的表妹跑来问我： 为什么不能除以0？ 就这个问题，我专门请来了高冷的 Siri 。 同样是数字，0为什么就会这么惨呢？ 小学生 小学老师会直接给你来一句： 别问，问就是没意义！ 怎么理解？我们说12可以理解为1个东西分成2份。 同样：13可以理解为1个东西分成3份。 但是：10可以...

蝴蝶定理： AB为圆O的任意一条弦，M为AB的中点，CD和EF为过点M的两条不同于AB的弦。连接CF，DE，这两条弦与AB交于点G和H。那么，GM=MH。 证明 ：如下图所示。 证明 ：就上图的样子，我们延长FC和DE，两延长线相交于点P。 于是得到三角形GPH。而CMD和EMF都是与三角形GPH三边（或延长线）都相交...

今天给出一个重要结论，然后利用这个结论解一道三角形作图题。其中用到之前不远的某期讲过的代数解析法。 我们知道，如果一动点到一条定线段两个端点的距离的平方和等于这条定线段长度的平方，那么这样的动点运动的轨迹明显是一个圆（根据勾股定理的逆定理）。 仍然是这一线段...

如图，有一个稍大一些的三角形ABC，要求在其内部作一个三角形（三个顶点分别位于稍大三角形的三条边上，这样作出的三角形称为内接三角形），使其与某已知较小三角形DEF全等。 请考虑一下。是不是没有思路？那么我们不妨逆向思维，即能否从稍小三角形DEF出发，作出一个与三角形A...